几何画板解圆上动点到直线距离最值问题

圆上动点到直线距离的最值问题是高考中常见的题型，主要考查学生的转化思想与数形结合能力。在教学实践中，如何通过直观的方式帮助学生理解这一知识点，并引导他们用数学思维观察、分析和表达现实世界，具有重要意义。我们借助几何画板解决此类问题，不仅能够形象展示动态变化过程，还能即时验证结果，有效提升了学习效率。以下分享具体操作经验：

以(3,0)为圆心，2为半径作圆。

绘制直线y=x+2。

在圆上取一动点P，向直线作垂线，垂足记为Q。

测量PQ的长度。

如图所示，5月28日

拖动点P沿圆周运动。

Q点随之发生变化。

可以观察到PQ的长度不断变化，有时增大，有时减小。

如图所示，当P点处于特定位置时，

PQ长度达到最大值5.54。

此时发现PQ经过圆心，并且圆心是PQ线段的内分点。

因此我们提出一个猜想：

当PQ过圆心，且圆心为PQ线段的内分点时，PQ长度取得最大值5.54。

接下来验证这个假设是否成立。

过圆心G作直线y=x+2的垂线，求得其方程为y=-x+3，标记该垂线为PQ。

发现该垂线恰好经过点P，说明猜想正确。

参照第5步的操作，再次观察数据，

提出另一个猜测：PQ最小值为1.54。

此时PQ仍经过圆心，但圆心变为PQ线段的外分点。

得出新的猜想：

当PQ过圆心，且圆心为PQ线段的外分点时，PQ长度取得最小值1.54。

验证该猜想：

再次过圆心G作直线y=x+2的垂线，得到方程y=-x+3，标记为PQ。

发现该垂线确实经过点P，因此猜想成立。