Matlab六自由度机器人固定角度与欧拉角区别

时间：2026-06-18 16:37

固定角度与欧拉角均用三次旋转描述姿态，区别在于旋转轴：固定角度绕固定参考坐标系轴旋转，欧拉角绕逐次变换的物体自身坐标轴旋转。两者矩阵乘法形式相似但物理含义不同，适用于不同场景。

【Matlab 六自由度机器人】Fixed Angles（固定角度）和 Euler Angles（欧拉角）之间的区别

往期回顾

【汇总】系列文章总结
【主线】
- 定义标准型及改进型D-H参数，建立机器人模型。
- 运动学正解
- 运动学逆解
- 基于蒙特卡罗方法(Monte Carlo Method)构建机器人工作空间
【补充说明】
- 关于灵活工作空间与可达工作空间的理解
- 关于改进型D-H参数(modified Dena vit-Hartenberg)的详细建立步骤
- 关于旋转的参数化（欧拉角、姿态角、四元数）的相关问题
- 关于双变量函数atan2(x,y)的解释
- 关于机器人运动学反解的有关问题

前言

在机器人学中，如何描述一个刚体在空间中的“朝向”——即姿态描述——是一个绕不开的核心概念。姿态表示的选取方式直接影响到后续的机器人控制、运动规划等环节，甚至决定了整个算法的复杂程度。在众多姿态描述方法中，固定角度（Fixed Angles） 和 欧拉角（Euler Angles） 是两种最常见、也最容易被混淆的表示方法。

直观上看，两者都使用三个旋转角度来描述物体相对于某个坐标系的姿态。但它们的关键区别在于旋转的顺序以及旋转轴是“固定的”还是“动态的”。正是这一差异，决定了它们各自的适用场景与数学特性。

接下来，我们将从数学公式和MATLAB代码两个角度，把这两个概念掰开揉碎讲清楚，帮助大家在实际应用中更准确地描述机器人姿态。

正文

Fixed Angles (固定角度)

固定角度是一种非常直观的方法。它的核心思路很简单：物体绕三个固定的参考坐标轴（比如世界坐标系或基座坐标系的X、Y、Z轴）依次旋转。这里的“固定”二字，指的是旋转轴始终与参考坐标系对齐，不会随物体自身的旋转而改变。

基本概念

用固定角度表示姿态时，需要明确两件事：

三个旋转轴： 通常就是参考坐标系的X、Y、Z轴，每个轴对应一个旋转角度（α, β, γ）。
固定的旋转顺序： 例如“XYZ”顺序，意味着先绕X轴转α，再绕Y轴转β，最后绕Z轴转γ。顺序一旦确定，就不能随意更改。

数学表示

固定角度的姿态可以由三个基本旋转矩阵的乘积来唯一确定。假设我们采用“XYZ”顺序，那么最终的旋转矩阵 R_XYZ 可以表示为：

R_XYZ = R_x(α) · R_y(β) · R_z(γ)

其中，R_x(α)、R_y(β)、R_z(γ) 分别表示绕X、Y、Z轴旋转相应角度的基本旋转矩阵。

MATLAB代码示例

下面这段代码演示了固定角度的计算过程。我们分别测试了两种不同的旋转顺序，观察它们带来的差异。

先绕X轴转60度，再绕Y轴转30度：

% 创建一个新的图形窗口
figure; hold on;
% 原始坐标轴
plot3([0 1], [0 0], [0 0], 'r', 'LineWidth', 2); % X轴（红色）
plot3([0 0], [0 1], [0 0], 'g', 'LineWidth', 2); % Y轴（绿色）
plot3([0 0], [0 0], [0 1], 'b', 'LineWidth', 2); % Z轴（蓝色）
text(1, 0, 0, 'X', 'FontSize', 12);
text(0, 1, 0, 'Y', 'FontSize', 12);
text(0, 0, 1, 'Z', 'FontSize', 12);
% 设置坐标轴范围
xlim([-1.5, 1.5]); ylim([-1.5, 1.5]); zlim([-1.5, 1.5]);
% 绘制固定角度下的旋转
phi = deg2rad(60); % 绕X轴旋转60度
theta = deg2rad(30); % 绕Y轴旋转30度
R = roty(theta) * rotx(phi); % 计算旋转矩阵
x_axis_rotated = R * [1; 0; 0]; % X轴旋转后的方向
y_axis_rotated = R * [0; 1; 0]; % Y轴旋转后的方向
z_axis_rotated = R * [0; 0; 1]; % Z轴旋转后的方向
% 绘制旋转后的坐标轴
plot3([0, x_axis_rotated(1)], [0, x_axis_rotated(2)], [0, x_axis_rotated(3)], 'r--', 'LineWidth', 2);
plot3([0, y_axis_rotated(1)], [0, y_axis_rotated(2)], [0, y_axis_rotated(3)], 'g--', 'LineWidth', 2);
plot3([0, z_axis_rotated(1)], [0, z_axis_rotated(2)], [0, z_axis_rotated(3)], 'b--', 'LineWidth', 2);
text(x_axis_rotated(1), x_axis_rotated(2), x_axis_rotated(3), 'X''', 'FontSize', 12);
text(y_axis_rotated(1), y_axis_rotated(2), y_axis_rotated(3), 'Y''', 'FontSize', 12);
text(z_axis_rotated(1), z_axis_rotated(2), z_axis_rotated(3), 'Z''', 'FontSize', 12);
grid on; view(3);

代码运行结果如下：

请添加图片描述

先绕Y轴转30度，再绕X轴转60度：

% 创建一个新的图形窗口
figure; hold on;
% 原始坐标轴（设置同前，略）
% ...
% 绘制固定角度下的旋转
theta = deg2rad(30); % 绕Y轴旋转30度
phi = deg2rad(60); % 绕X轴旋转60度
R = rotx(phi) * roty(theta); % 计算旋转矩阵
% ...（后续绘制代码结构与上例相同）
grid on; view(3);

代码运行结果如下：

请添加图片描述

两个示例清晰地表明，即使旋转的角度值一样，只要改变旋转的顺序，最终得到的姿态完全不同。这正是固定角度方法的特性之一：旋转顺序决定了最终的姿态。

Euler Angles (欧拉角)

欧拉角与固定角度的核心区别在于：它的三次旋转，每一次都是绕当前物体自身的坐标轴进行的。这种“动态”的旋转轴使得欧拉角在描述物体内部旋转时更加直观，同时也带来了更高的灵活性。

基本概念

欧拉角的旋转顺序可以灵活选择，常见的组合包括ZXZ、ZYX、YZX等。以ZYX顺序为例：

R_ZYX = R_z(α) · R_y(β) · R_x(γ)

这里，先绕初始的Z轴转α，然后绕旋转后的Y轴转β，最后绕再次旋转后的X轴转γ。注意，每一次旋转的参考轴都在随着物体转动。

数学表示

尽管物理意义不同，但欧拉角在数学上仍然可以表示为三个基本旋转矩阵的乘积，只是矩阵相乘的顺序对应着“动态轴”的旋转顺序。

MATLAB代码示例

下面的代码演示了采用ZYX顺序的欧拉角计算方法：

% 定义旋转角度
alpha = 45; % 绕Z轴旋转45度
beta = 30;  % 绕Y轴旋转30度
gamma = 60; % 绕X轴旋转60度
% 定义绕X、Y、Z轴旋转的函数
Rx = @(theta) [1, 0, 0; 0, cosd(theta), -sind(theta); 0, sind(theta), cosd(theta)];
Ry = @(theta) [cosd(theta), 0, sind(theta); 0, 1, 0; -sind(theta), 0, cosd(theta)];
Rz = @(theta) [cosd(theta), -sind(theta), 0; sind(theta), cosd(theta), 0; 0, 0, 1];
% 计算欧拉角姿态（ZYX顺序）
R_euler = Rz(alpha) * Ry(beta) * Rx(gamma);

MATLAB代码示例（综合对比）

下面把固定角度和欧拉角放在一起做个对比，能更直观地看到它们计算上的异同：

% Fixed Angles示例（XYZ顺序）
alpha = 45; % 绕X轴旋转45度
beta = 30;  % 绕Y轴旋转30度
gamma = 60; % 绕Z轴旋转60度
Rx = @(theta) [1, 0, 0; 0, cosd(theta), -sind(theta); 0, sind(theta), cosd(theta)];
Ry = @(theta) [cosd(theta), 0, sind(theta); 0, 1, 0; -sind(theta), 0, cosd(theta)];
Rz = @(theta) [cosd(theta), -sind(theta), 0; sind(theta), cosd(theta), 0; 0, 0, 1];
R_fixed = Rx(alpha) * Ry(beta) * Rz(gamma);
% Euler Angles示例（ZYX顺序）
alpha = -30; % 绕Z轴旋转-30度
beta = 60;   % 绕Y轴旋转60度
gamma = 45;  % 绕X轴旋转45度
R_euler = Rz(alpha) * Ry(beta) * Rx(gamma);

结合上面两段代码，你会发现一个有趣的事实：从纯粹的矩阵乘法形式上看，采用“XYZ”顺序的固定角度，与采用“ZYX”顺序的欧拉角，在数学表达上是一模一样的。它们之间的真正区别在于物理含义——固定角度的旋转轴始终是固定的，而欧拉角的旋转轴会随着物体逐次旋转。

总结

姿态描述是机器人学中的一个基本功，而固定角度与欧拉角则是其中两种最基础的表示方法，它们各自有着鲜明的特点：

固定角度： 采用固定的旋转顺序和固定的旋转轴（如XYZ、ZXZ等）。优点是概念简单直观，容易理解；缺点是旋转顺序是固定的，缺乏灵活性。
欧拉角： 旋转顺序和旋转轴可以根据需要自由选择（如ZYX、YZX等）。优点是适用范围更广，灵活性更高；缺点是物理含义不如固定角度直观，也更容易遇到“万向锁”等问题。

无论是固定角度还是欧拉角，最终都通过三个旋转角度和相应的旋转矩阵来描述姿态。在实际应用中，选择哪种方式，取决于具体的场景需求：是追求计算的直观性，还是需要更灵活的自由度？理解了这两者的区别，才能在机器人运动学、控制与规划中做到心中有数、游刃有余。

来源：https://cloud.tencent.com.cn/developer/article/2690851

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