图像降噪问题，看似简单，却是图像处理领域中最基础也最经典的逆问题（inverse problem）之一。

在绝大多数场景下，图像降噪都是一个ill-posed问题——仅凭一张带有噪声的观测图像，我们永远无法唯一确定出干净无损的原图。这就像求解一个超越方程，如果没有额外的约束条件，就不存在唯一解。

如果只讨论加性噪声（additive noise），降噪的数学模型用一句话就能概括：

y = x + e

其中 y 是观测到的带噪图像，e 是噪声，x 是干净无噪声的真实图像。已知 y 和噪声 e 的概率分布，降噪的核心任务就是尽可能逼近未知的 x。

问题本身如此简洁明了，但自信号处理学科诞生以来，研究者们前赴后继地提出了各种降噪算法。很多人最初可能会困惑：为什么大家要在这么简单的问题上反复钻研，而不是去搞更复杂、更贴近实际的应用？

其实世间万物的规律万变不离其宗：再复杂的问题，本质往往源于简单的起点；而看似简单的问题，反而可能是检验高手功力的试金石。就像看一位书法家的功底，写一个“永”字就够了；品一位川菜大厨的手艺，做一道开水白菜就能见分晓。

科研之道也是如此。简单的任务考验的是方法本身的潜力——它只是起点，不是终点。优秀的研究者应该着眼起点，追求问题的本源，再拓展到更远的未来，这才是“道”。一味追求花哨应用、拼凑堆叠、舍本逐末，终究只是“术”。

扯远了。简而言之，图像降噪既是简单的，也是最困难的。

那么，怎样才能解好这个逆问题？

降噪的本质，是从观测值中分离噪声、保留图像细节。算法的关键在于掌握并利用图像本身独有的性质和结构。至于具体利用什么性质，流派可就多了。下面做一个不完全梳理，汇总近年来比较有代表性的降噪算法。

根据算法利用的图像性质或手段，大致可以分成以下几类：

滤波类

这类方法相对传统，通过设计滤波器对图像进行处理。其特点是速度快——很多卷积滤波可以借助快速傅里叶变换（FFT）加速。近期的代表如BM3D，结合了块匹配（block matching）来利用图像的self-similarity，取得了非常出色的降噪效果。

稀疏表达类

自然图像之所以区别于随机噪声或人造结构，是因为人们发现它们总能在某种模型（synthesis model 或 analysis model）下找到稀疏表达。而需要排除的噪声往往无法被稀疏化。基于这种判别式模型，用稀疏性约束自然图像，在很多逆问题中效果显著。

外部先验（external prior）

如果从带噪图像本身找不到规律，可以借助其他类似但无噪声的图像来总结图像的固有属性。这类方法利用外部图像构造先验条件，再用于约束待预测的图像。最有代表性的工作是混合高斯模型（Gaussian Mixture Model）。严格来说，基于深度学习的方法也可以归入此类。

聚类低秩（Low-Rankness）

除了稀疏性，低秩性也是自然图像常见的特性。数学上，稀疏表达的数据可以被认为处于“低维子空间的并集”，而低秩数据则直接存在于一个低维子空间。这个更严格的约束往往能取得不错的降噪效果。

深度学习（Deep Learning）

这类方法本质上是外部先验的一个子类，但由于近期大热，需要单独拿出来说。解决逆问题的关键在于找到好的图像约束器（regularizer）。深度学习的精髓，就是通过大量数据学习得到一个高复杂度（多层网络结构）的约束器，从而将“学习外部先验”这条路径推到极限。近期的很多工作沿着这个思路，取得了非常惊艳的效果。

以上每一类算法中，都存在不少优秀的代表性工作，并且大部分附带可复现的代码实现。限于篇幅，这里不再逐一列举——感兴趣的话，不妨自己去搜索和尝试。