作者：Zhengyou Zhang

作者机构：张正友老师目前受聘为腾讯历史上最高专业职级——17级研究员/杰出科学家，在计算机视觉与相机标定领域享有盛誉

以下是维基百科对张正友老师的专业评价：

张正友标定方法是一种经典的相机标定技术，如今已成为最受欢迎的相机内参外参求解方法之一。该方法通过机器学习思路，利用大量匹配的数据点像素坐标与世界坐标，基于极大似然估计拟合出最优解。作者提出了一种基于平面模式观察的灵活相机标定技术，包含闭合解与基于最大似然准则的非线性优化流程。该技术能够建立径向镜头畸变模型，同时完成相机校准。其优势在于灵活易用、无需昂贵设备，非常适合实际应用。这一成果对于将三维计算机视觉技术从实验室推广到真实场景起到了重要的推动作用。

前 言

在相机标定领域中，长期存在一个痛点：传统方法往往需要昂贵的专用设备（如正交平面），而自校准方法又不够稳定可靠。那么，有没有一种既灵活又低成本的相机标定方案？张正友老师提出的基于平面模式观察的标定技术，恰好给出了答案。它不需要专业设备，普通使用者也能轻松完成相机校准，从而从2D图像中获取对应的3D度量信息。该方法的核心是基于最大似然法的非线性优化，需要同时估计相机内参、外参以及镜头畸变等若干参数。与传统方法和自校准方法相比，这套方案在灵活性和鲁棒性上均具备明显优势，是计算机视觉领域的重要突破。

Basic Equations - 基础方程

符号表示法

先来了解符号定义部分，这是整个相机标定推导的基础，便于后续理解成像模型与参数计算。

Solving Camera Calibration - 相机标定的解法

闭式求解

接下来，作者给出了一个闭式解，用于直接求解相机内外参数，无需迭代计算，大幅提升标定效率。

最大似然估计

闭式解之后，再通过最大似然估计进行非线性精炼，使相机标定结果更加精准，降低重投影误差。

处理径向畸变

这部分重点处理台式相机的径向畸变问题，聚焦于前两项畸变系数。具体做法是：先用最小二乘法估算出畸变参数，然后利用Levenberg-Marquardt算法进一步优化其他相机参数，最终使估计误差的平方和降到最低，有效提升成像质量。

实 验

计算机模拟

作者通过一个小矩阵的奇异值分解，提出了一种高效的标定方法，并采用计算机模拟数据和真实数据进行了验证。在模拟测试中，可以通过相对误差和绝对误差来评估标定性能。此外，还研究了模型平面的方向以及图像数量对标定效果的影响。结论非常清晰：采集的图像数量越多，模型平面的方向越丰富，最终的相机标定结果就越理想，鲁棒性也越高。

真实数据

真实数据实验表明，该方法在不同数量和不同方向图像集上的标定结果都很稳定。而且，使用最大似然估计后的结果明显优于仅用闭式算法的结果。更值得一提的是，该方法还被成功应用于图像建模中——生成了一个准确重建的茶罐模型，这大大增强了它在实际场景中的可用性。总体来看，这种基于平面标定的相机标定方法能够很好地解决相机成像中的畸变问题，实用价值非常突出，广泛应用于计算机视觉领域。

总 结

张正友老师提出的这套基于平面标定的相机标定技术，兼具快捷、精确和灵活的特点。它将闭式解与基于最大似然标准的非线性精炼方法结合，能够高效消除径向畸变，提升图像成像质量。更重要的是，该技术只需要相机从不同角度观察一个平面模式，而无需知道平面运动的具体状态，这极大提高了标定的灵活性。实验结果证明，该算法性能出色，可以广泛用于计算机视觉中需要相机标定的各种应用场景，如三维重建、机器人导航、增强现实等。

tips1：

常见的相机标定方法还有好几种，用户可根据需求选择：

棋盘格标定方法：使用棋盘格图案，通过相机拍摄多幅图片，然后根据拍摄到的图案计算出相机内外参数，是张正友标定法的典型应用。
自然场景标定方法：利用自然场景中的几何特征（如墙角、边缘、桌子等）进行标定，需要特定算法来检测这些特征点，适用于无标定物的场景。
物体特征点标定方法：先获得待测物体的三维模型，然后相机从多个角度拍摄，根据图像与三维模型的对应关系计算内外参数，常用于工业检测。

tips2：

进行相机标定时，有几点需要特别留意，以确保标定精度：

采集图像时要尽量覆盖标定物体的各个角度、位置和姿态，这样才能得到更精确的相机参数。
拍摄时保证标定物体平整、稳定，摄像机与标定物体之间保持一定距离，避免物体变形或偏移。
图像处理前要确保亮度、对比度等参数合适，可以通过调整曝光时间、光源来控制图像质量，减少噪声干扰。
处理过程中需要做畸变校正，去除透镜畸变，以获得更准确的图像特征点。
标定时要根据实际情况调整算法参数，比如棋盘格标定中格子的数量和大小，以及采集图像的数量。

tips3：

如何判断相机标定参数的好坏？可以从以下几个角度入手：

重投影误差：将已知的三维标定棋盘图像点投影回二维图像坐标，计算投影点与实际图像点之间的误差。通常这个误差应该小于标定图像分辨率的1/10，越小说明标定精度越高。
相机内部参数矩阵：包括焦距、主点、畸变系数等，好的参数应该能准确反映相机成像的精度和畸变情况，且数值符合物理常识。
畸变校正效果：校正后的图像应该达到理想的几何形态——直线是直的、圆是圆的，边缘无弯曲现象。
极线校正效果：在双目标定中，经过极线矫正后，两幅图像中同一物体对应的像素位置应该出现在各自的极线上相同的位置，通过对比差异可以直观评估立体标定的效果。
相机外部参数矩阵：比如基线的值应该符合厂商规格，可通过基线的误差来判断双目标定的参数效果，确保逻辑合理。

总的来说，好的相机标定参数应当能保证成像精度、畸变校正效果和逻辑合理性三者同时满足，才能在实际计算机视觉任务中稳定可靠地工作。