对称性在深度学习领域一直是一个引人入胜的话题。从科学计算到医学影像分析，这一概念几乎渗透到了每一个子领域。然而，一个经久不衰的争论始终存在：我们究竟应该将对称性像“紧箍咒”一样直接嵌入神经网络架构（即构建等变神经网络），还是更省事一些，让模型通过数据增强自行学习这些对称性？
理论研究者自然倾向于前一种方法——它严谨规范、便于分析。而数据增强则显得棘手得多，因为要分析它，就必须深入训练动态的复杂泥潭。不过，近期有研究指出，一个无限深的深度集成，从期望角度看，实际上是完全等变的。这条线索极具启发性。受此启发，我们系统地研究了用变分推断训练的贝叶斯神经网络（BNNs）在数据增强下的表现，特别是当变分分布属于指数族时。我们的目标是明确：要达到完全等变性，需要满足哪些条件。
沿着这一思路，我们不仅推导出了等变误差的理论界限，还顺势提出了三种对称化新方法——几何平均、投影和轨道扩展——专门用于在此场景下提升数据增强的效果。大量实验表明，其中“轨道扩展”方法在等变性和整体性能上，均显著优于其他基线方法。
1 引言
对称性在深度学习任务中正受到越来越多的关注。早期，研究者们主要聚焦于如何将对称性约束逐层嵌入网络，从而催生了大量专用的等变网络。然而，近期风向有所转变，更多人开始探索通过数据增强来“偷懒”式地学习对称性。
这种做法的优势显而易见：只要具备数据变换能力，实现起来简单直接，还能直接与那些经过千锤百炼、性能优异的现成架构搭配使用。当然，天下没有免费的午餐。由于对称性是从数据中“学”来的，而非“与生俱有”，因此它只能是近似成立。这引出了一个关键问题：如何提高从增强训练中获得的对称性“质量”？这需要新的方法来解决。
反过来看，显式的逐层等变网络在理论分析上非常顺手，而数据增强则复杂得多，因为任何分析都必须考虑训练动态。不过，一个关键发现是：如果对初始化过程取期望，数据增强实际上可以带来完全等变性。要近似计算这个期望值，一个成本高昂但直接的方法是训练一个深度集成。
我们这篇工作的核心目标是：寻找一种更经济的途径来实现这种“期望中的等变性”。具体来说，我们在增强后的数据上，使用变分推断来训练贝叶斯神经网络。在这种设定下，从后验预测分布中采样，不仅替代了集成推理步骤，还顺便提供了贝叶斯不确定性估计。更重要的是，整个流程只需一次训练就能获得变分后验，而深度集成需要为每个集成成员单独运行训练。此外，BNN 在处理分布外数据方面以稳健著称，因此特别适合数据量不大、但数据增强最能发挥威力的场景。
简要概括我们的主要贡献：
* 我们深入分析了在增强数据上训练的 BNN，其变分分布来自指数族。结果表明，只要训练从一个不变的先验出发，在几个温和的假设下，变分分布在训练全程都能保持等变性。这相当于将 Nordenfors 等人早期针对非贝叶斯网络训练的结果，推广到了贝叶斯场景。 * 如果先验不是等变的，我们也给出了变分分布偏离等变性的理论界限，并证明了因有限采样导致的预测等变误差的界限。这些理论分析均在实验中得到了验证。 * 我们一口气介绍了三种对称化操作：几何平均、投影和轨道扩展。这些操作可以在训练期间直接使用，以改善 BNN 的等变特性。在大量图像分类实验中，我们测试了这些技术，发现轨道扩展方法在模型性能和等变性方面均超过了其他基线。2 相关工作
等变神经网络
深度神经网络的对称性问题——即不变性和等变性——已经发展成一个名为“几何深度学习”的完整子领域。最经典的构建等变网络的方式是逐层构造。这条思路源于群卷积神经网络，但如今，它已经能够处理几乎所有群所能表达的对称性。当然，还有别的方法，比如从不变量中学习、通过帧平均、基本域投影或群平均来实现。也有些研究尝试近似地强加对称性，例如所谓的“权重退火”。
数据增强与训练动态
关于数据增强对神经网络训练动态的影响，已有学者在一些简化情境下进行过探讨，例如特征平均模型和线性神经网络。在这些情况下，通常可以证明数据增强与等变性是等价的。对于完全非线性网络的研究，我们将其推广到了贝叶斯网络。至于数据增强与“硬约束”孰优孰劣，经验性研究文献很多，但更系统的探讨可参考 Gandikota 和 Gerken 等人的工作。
贝叶斯神经网络
深度学习的贝叶斯方法早已被研究，因为它能为通常像黑盒一样的神经网络提供不确定性估计。不过，要让 BNN 真正实用，还需要将变分推断整合到深度学习训练的方法论中。在强调实际应用的 BNN 综述文章中，可以找到更详细的介绍。
有趣的是，此前很少有研究深入探讨 BNN 中的对称性问题。有学者提出过一种概率上的群平均方法给 BNN，以实现数据驱动的、软的对称性约束。与我们最接近的工作是使用了某种特定的先验，然后将不同的权重共享方案（对应不同的对称性约束）结合起来。在训练过程中，网络会自行学习哪种对称性最适用于手头的数据。而我们的方法则是在增强数据上训练，使用不强制权重共享的通用先验，路径完全不同。
3 理论
让我们系统梳理一下，数据增强是如何在变分贝叶斯推断中诱发等变性的。基本思路分为三步：首先，刻画指数族在群作用下何时是封闭的；其次，展示数据增强训练如何使 ELBO（证据下界）保持不变，以及这又如何影响训练；最后，提出几种对称化机制，并分析它们的性质。
3.1 预备知识
先介绍后面要用到的数学工具。首先是指数族——它是我们理论分析的结构骨干；接着回顾变分推断；最后是形式化对称性所需的群论概念。
3.2 群作用下封闭的指数族
要让神经网络真正从增强数据中学习到等变性，一个先决条件是：其参数空间必须在群变换下是封闭的。同样，在贝叶斯框架下，我们也需将变分分布族限制为在群变换下封闭的类型。这一限制对指数族施加了一些条件。具体的证明细节，我们放在了附录 C 中。
3.3 数据增强诱导等变性
值得关注的是，定理 3.7 并不直接依赖增强数据，它只与不变的似然性有关。而根据命题 3.1，这个不变的似然性是由数据增强本身隐含的。因此，即使对称性确实存在于数据中但我们事先并不知晓，该定理也依然成立。然而，在这种情况下，要保证先验也是不变的，就比较困难了。下一个定理（证明在附录 E）会告诉我们，随着数据集增大，非不变先验的负面影响会自动消失。
3.4 变分后验的对称化
4 实验
在实验部分，我们选择了一个经典数据集：FashionMNIST，并且只考虑旋转 90° 倍数这种简单的循环群对称性。这样的设定一方面能让数据增强做得非常精确，另一方面也方便我们进行大范围的蒙特卡洛采样。整个实验过程中，我们都使用了高斯变分分布，这满足了定理 3.2 中的约束条件。在附录 J 中，我们还针对其他变分分布做了额外的消融实验。
4.1 定理验证
4.2 图像分类上的对称化
接下来，我们用真实数据，比较一下第 3.4 节中提出的几种对称化机制的实际表现。
实验设置。 我们训练了一个卷积贝叶斯神经网络：两个卷积层，分别有 32 和 64 个通道，最后加一个分类层。变分分布采用对角高斯变分族，先验为标准各向同性高斯先验。训练集是从 FashionMNIST 中随机挑选的 5000 张图像，每张图像都完整地进行了旋转增强（共 20000 个训练样本）。
我们注意到一个现象：如果对称化干预应用得较晚，所有策略的性能通常都会下降。这很容易理解，因为触发晚意味着重新初始化后的训练时间较短。不过，几何平均方法在 OSP 和 Sym.KL 这两个指标上是个例外——虽然它也呈现下降趋势，但它是从一个比其他所有方法都要好得多的起点开始下降的。
最终，轨道扩展方案交出了最好的答卷。我们推测，这是因为与简单的轨道平均相比，轨道扩展产生的参数自带额外对称性，而这种额外对称性源于基滤波器数量有限（可参考图 3 和图 5）。这些多出来的对称性似乎能带来更强的稳定性。当然，这背后更深层的原因还有待未来继续探索。
5 结论与局限性
最后，必须坦诚地讨论我们工作的局限性。为了将问题阐述清楚，我们做了一些假设，这也为结果的适用范围划定了边界。例如，我们主要聚焦于指数族。虽然它覆盖面很广，但像高斯混合模型这样一些著名分布并不属于指数族。此外，我们的分析和实验都限制在有限群上，这样才能直接定义有限增强数据集。要推广到连续群，就需要用从对称群中采样的方法来实现数据增强。虽然这超出了目前这篇工作的范围，但我个人认为，沿着这个方向拓展我们的结果并不存在概念上的障碍（附录 A 中也做了讨论）。最后一个局限性是相容性假设（2）。考虑到中间表示的选择具有很大灵活性，这一限制总体上还算温和。
