【导读】OpenAI以125页的思维链证明，撼动了悬置80年的埃尔德什猜想大门。如今，Anthropic的Mythos模型找到了一条更短、更优雅的证明路径。令人惊讶的是，它在获得第一个可行解后就停止了探索——面对这个著名的数学开放问题，AI似乎也表现出了“谨慎”。

AI在数学研究领域的进展速度，正以惊人的态势加速。

OpenAI刚刚宣布破解一个长达80年的数学猜想，Anthropic紧随其后公布了其独立证明。同一周内，DeepMind也一举攻克了9道同类型的埃尔德什难题。

近日，Anthropic研究员Levent Alpoge在社交媒体上发布了一系列推文，透露了一个关键信息：

OpenAI耗费125页篇幅解决的难题，他在周末使用Mythos模型进行测试，不仅迅速找到了解决方案，而且发现的证明路径更为简短、清晰。

断网独立测试，Mythos展现实力

研究员Levent Alpoge背景显赫。他于1992年出生，以满分成绩毕业于哈佛大学本科，随后在剑桥大学完成Part III课程，并在普林斯顿大学获得博士学位，师从菲尔兹奖得主Manjul Bhargava。他早在2015年就获得了美国本科生数学研究最高奖摩根奖，曾是哈佛大学初级研究员，并解决了希尔伯特第十问题在任意数域上的推广。

2023年GPT-4发布时，他深受吸引，认为这是“人类有史以来创造的最有趣的事物之一”，并因此决定重返计算机科学领域，随后加入了Anthropic。

本周，在OpenAI破解埃尔德什难题的消息公布后，Levent进行了一项自然的测试：让自家的Mythos模型尝试解决同一问题。

为确保测试的公平与独立性，他设置了严格条件：让多个Claude Code实例在完全断网的环境下独立工作，彻底杜绝了参考OpenAI公开证明的可能性。

结果令人意外。模型不仅找到了与OpenAI类似的解法，更倾向于选择一条完全不同、却更为简洁的证明路径。

一个有趣的细节是：模型在找到第一个足以反驳猜想的可行构造后便停止了。它本可以继续推进，得到一个更强的结论，但它似乎“犹豫”了。面对这道声名显赫的开放性问题，它对自己的结果表现出不确定，保守地停留在了第一个可行解上。

看到这个行为，Levent会心一笑，他表示：“这种感觉，每一位数学家都能理解！”

目前，Opus 4.7模型已经完成了完整证明的整理与排版工作。

尘封80年的数学赌注

时间回到1946年。匈牙利数学家保罗·埃尔德什提出了一个表述简单却极其困难的问题：在平面上任意放置n个点，最多可以形成多少对距离恰好为1的点？

举例来说，就像在桌面上摆放100枚硬币。如果两枚硬币的圆心距离恰好等于一个硬币的直径，就算作一对“单位距离”。那么，100枚硬币最多能产生多少对这样的组合？

埃尔德什本人给出了一个构造：将点排列成方格网格，经过适当缩放后，单位距离对的数量大约是 n^(1 + c/log log n)。也就是说，100个点大概能产生比100略多一些的对数。

随后，他提出了一个著名的“赌注”：这就是理论上限，不可能做得更好了。

他的信心源于一个关键瓶颈——高斯整数环Z[i]。埃尔德什的网格构造依赖于这个代数结构，而一个固定范数在Z[i]中的分解方式数量受除数函数限制，其上限大约是 exp(O(log n / log log n))。这便构成了那个难以突破的“天花板”。

整整80年间，数学家们都在这个框架内探索，无人能够超越。

数论重器，跨界破解几何难题

对于人类数学家而言，代代相传的直觉是“答案要在高斯整数Z[i]中寻找”。但Mythos模型没有这种思维定势，它一开始就将Z[i]替换为次数远大于2的数域K的整数环O_K。

这看似是“杀鸡用牛刀”，但正是这种跨领域的“降维打击”，成功撬开了尘封80年的僵局。

具体方法是，首先利用Golod-Shafarevich定理，在一个二次域上构建一座无限高的“数域塔” K₀ ⊂ K₁ ⊂ K₂ ⊂ …… 然后，对每一层K_n，取其一个四次根扩张F_n = K_n(D^{1/4})，其次数为d_n。

这座塔的有效性基于一个关键性质：无论塔建得多高，数域的“复杂度密度”始终有界，结构保持可控。一旦参数足够大，几何计数机制便可启动。

接下来是证明的核心。在埃尔德什依赖的Z[i]中，单位群仅有{±1, ±i}四个元素。能够产生单位距离的“方向”极其有限，被除数函数牢牢限制。

但在高维数域中，情况完全不同。单位群的秩随着维度增长，van der Corput定理直接将这个秩转化为可用方向的数量。于是，原本可怜的4个方向，变成了随维度指数级增长的海量选择。

如果这段技术细节难以理解，可以记住一个形象的比喻：

埃尔德什被困在一个只有4扇门的房间里，而Mythos直接拆掉了四面墙。

随后的构造就直观了。首先，选择一个实嵌入将这些代数整数投射到平面上，得到点集P。然后，取一个单位向量去平移这些点，新旧两点之间的距离恰好为1。由于可用方向的数量增长极快，满足条件的点对数量远远超过了埃尔德什猜想设定的上限。两者结合，便得到了多项式级别的超越。

更直观的解释是：

单位距离方向数量的增长是exp(Ω(d log log d))量级，而所有其他损耗都只是exp(O(d))量级。d log log d 轻松碾压了 d。

就这样，埃尔德什的猜想被成功反驳。整个论证过程在解析上并不复杂，与OpenAI那条长达125页的路径相比，显得尤为简洁。

用Levent自己的话总结：

从高层视角看，这本质上是埃尔德什原始构造与一座类域塔的结合。只不过，这里做的是字面上最“直接”的事——将大小不超过半径一半的点，加到大小不超过半径一半的单位上。而它之所以成功，纯粹是因为类域塔的几何计数增长速度快得惊人。

一周三连击，AI数学研究迎来突破

过去一周的时间线，信息密度极高。

5月20日，OpenAI官方宣布，其一个未公开名称的通用推理模型，自主反驳了埃尔德什单位距离猜想。同一天，普林斯顿大学教授Will Sawin在arXiv上发布了手工改进版，将指数从6×10⁻³⁸提升到了0.014，差距高达10³⁵倍。曾与埃尔德什合作过的佐治亚理工学院数学家Tom Trotter感慨道：“如果埃尔德什还活着，他一定会激动不已。”

5月21日，DeepMind登场，其AlphaProof Nexus模型一口气解决了9道埃尔德什问题，每道题的推理成本仅需数百美元。

5月26日，Anthropic也宣布实现了独立证明，其路径比OpenAI的125页证明简短得多。

三家公司的技术路线截然不同，但结果都汇聚于同一终点。

从争议到权威认可

要知道，就在七个月前，AI进行数学研究还备受质疑。

2025年10月，时任OpenAI副总裁的Kevin Weil在社交平台宣称GPT-5解决了10个埃尔德什问题。负责维护erdosproblems.com网站的数学家Thomas Bloom当即指出，模型只是检索到了已知解法，属于“严重误导”。Yann LeCun和Demis Hassabis也加入了批评行列。很快，Weil删除了帖子，并在数月后离开了OpenAI。

当时业界的普遍看法是：模型或许能解题，但距离进行真正的数学研究还很遥远。

时至今日，风向彻底转变。Thomas Bloom亲自签署了验证报告。菲尔兹奖得主Timothy Gowers写下了“如果提交到《数学年刊》，我会毫不犹豫推荐接受”的高度评价。数学家Sam Litt则表示，这是“AI自主产生的第一个让我觉得本身就有趣的数学结果”。

Litt甚至在《自然》杂志的采访中坦言：“没有人类能够像大语言模型那样吸收全部的数学文献。AI正在打破学科之间的壁垒。”

回想三年前，GPT-4应对本科水平的数学题尚且吃力。如今，让最杰出的数学家都感到棘手的埃尔德什问题，正在成为AI的“能力测试”。

打破80年僵局的，恰恰是一个没有传统思维包袱的模型。它不知道“这道题应该怎么想”，反而使其能够从代数数论中借用“重型工具”，去攻克一道本质上的几何难题。

埃尔德什留下了超过1000道未解难题。这一周，这份清单上又减少了一道。

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