1、 未作说明

2、 反正弦函数的定义域为 $[-1,\,1]$，值域为 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right]$。

3、 要计算 $\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ 的值，可以设这个值为 $x$。

4、 其中 $x$ 需满足 $ -\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$。

5、 根据定义，有 $\sin x = -\dfrac{1}{2}$。

6、 因此，$x = -\dfrac{\pi}{6}$（即 $-30^\circ$）。

7、 我们来求 $\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right)$，也就是在主值区间内寻找正弦值为 $\dfrac{1}{2}$ 的那个角。

8、 由于 $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$，所以 $\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{6}$，即 $30^\circ$。

9、 补充说明

10、 定义域

11、 反正弦函数的定义域是 $[-1,\,1]$。

12、 值域

13、 反正弦函数的输出范围（即值域）为 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right]$。

14、 单调性

15、 反正弦函数在其定义域上严格单调递增。

16、 证法一：

17、 证毕，结论成立。

18、 方法二：设 $x_1 < x_2$，且 $x_1, x_2 \in [-1,\,1]$，因为

19、 正弦函数在 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 上严格单调递增，根据反函数性质可知，其反函数——反正弦函数在 $[-1,\,1]$ 上也严格单调递增。

20、 证毕。

21、 奇偶性

22、 反正弦函数是奇函数，满足 $\arcsin(-x) = -\arcsin x$。

23、 反正弦函数是正弦函数在主值区间 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 上的反函数。